Los Numeros Enteros

Historia de los números enteros y sus propiedades

Los números enteros fueron principalmente la base de todos los sistemas numéricos y fue uno de los más difundidos, estos los utilizaban para facilitar el medio que los rodeaba. La forma más fácil que encontraron para contar numero fue utilizando los dedos de sus manos.

Los números naturales son los números que usamos para contar; uno, dos, tres, cuatro, etc. Les damos un nombre, “Números naturales” para distinguirlos de otros números, como “un medio”, “cuatro tercios”, “tres punto siete”, “menos cinco”; es decir, de los números fraccionarios (1/2), los números con punto decimal (3.7) y los números negativos (-5).

El hombre primitivo solo necesitó algunos cuantos números, los cuales represento mediante marcas en huesos o madera, como se ve en la figura, en la que se muestra un hueso encontrado en china.

El conjunto de los números enteros es el conjunto que contiene a los números cardinales y los enteros negativos, llegando por ambas direcciones en infinito en la recta numérica y el comienzo se considera desde el cero, representados por la letra mayúscula I.  Quedando de esta forma:           

I = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

El valor absoluto de estos se obtiene al suprimir el signo Son números que no cuentan con parte decimal. Para diferenciar lo números enteros positivos de negativos se utilizan los siguientes signos:+: para los positivos.-:  para los negativos.
                      *cada signo se escribe antes de cada número, generalmente los positivos se escriben sin signo.

Para ordenar estos números se toma el valor de cada uno  y se ordena de mayor a menor después del cero a la derecha en caso de que sean positivos, en el caso de los negativos se ordenan en forma decreciente de lado izquierdo del cero, por lo que se observa que todo número negativo es menor que cero.

El hombre advirtió que todos los conjuntos de objetos o de seres tienen una

cualidad en común, con independencia de la naturaleza de los objetos o de

los seres que lo componen. La cualidad se denomina número.

Existen muchas formas de representar un valor o un numero, pero también dependía de la región en la que se encuentren. Por ejemplo

En Egipto mediante jeroglíficos (base 10)

En Grecia mediante el alfabeto griego.

En China mediante ideogramas.

Babilónico.

Los mayas utilizaban notaciones particulares

Entre otros.

Los números negativos

Los números negativos antiguamente conocidos como “números deudos” o

“números absurdos”, datan de una época donde el interés central era la de

convivir con los problemas cotidianos a la naturaleza.

Sin embargo, los chinos no aceptaron la idea de que un número negativo

pudiera ser solución de una ecuación. Corresponde a los Indios la

diferenciación entre números positivos y negativos, que interpretaban como

créditos y débitos, respectivamente, distinguiéndolos simbólicamente.8.

Además el cero también es atribuida a esta cultura, hacia el año 650 d. C.

Tener en cuenta que los griegos utilizaban magnitudes negativas en sus

teoremas del álgebra geométrica, pero este siempre referido a las

propiedades de la operación de restar

LOS NÚMEROS ENTEROS

LOS NÚMEROS ENTEROS

El conjunto de los números enteros es el conjunto que contiene a los números cardinales y los enteros negativos, llegando por ambas direcciones en infinito en la recta numérica y el comienzo se considera desde el cero, representados por la letra mayúscula I.  Quedando de esta forma:           

I = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

El valor absoluto de estos se obtiene al suprimir el signo Son números que no cuentan con parte decimal. Para diferenciar lo números enteros positivos de negativos se utilizan los siguientes signos:+: para los positivos.-:  para los negativos.
                      *cada signo se escribe antes de cada número, generalmente los positivos se escriben sin signo.

Para ordenar estos números se toma el valor de cada uno  y se ordena de mayor a menor después del cero a la derecha en caso de que sean positivos, en el caso de los negativos se ordenan en forma decreciente de lado izquierdo del cero, por lo que se observa que todo número negativo es menor que cero.

Estos números se pueden representar por medio de una recta en  la cual los números positivos quedarán del lado derecho y los negativos de lado izquierdo, el origen de estos números será el número 0 en parte central de la recta. ejemplo:                                

Las operaciones suma, resta y multiplicación de números enteros son operaciones internas porque su resultado es también un número entero. Sin embargo, dos números enteros sólo se pueden dividir si el dividendo es múltiplo del divisor.
En el caso de la multiplicación se utiliza la ley de los signos.                                             Suma de Números Enteros

Para sumar dos números enteros se procede del siguiente modo:
• Si tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos, y al resultado se le pone el signo que tenían los sumandos.
•Si tienen distintos signos, es decir, si un sumando es positivo y el otro negativo, se restan sus valores absolutos y se le pone el signo del mayor.
La suma de números enteros tiene las propiedades siguientes:
Asociativa:
(a + b) + c = a + (b + c)
Conmutativa:
a + b = b + a
Elemento neutro: el cero es el elemento neutro de la suma,
a + 0 = a
Elemento opuesto: todo número entero a, tiene un opuesto –a,
a + (-a) = 0
Multiplicación de Números Enteros
Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos y el resultado se deja con signo positivo si ambos factores son del mismo signo o se le pone el signo menos si los factores son de signos distintos. Este procedimiento para obtener el signo de un producto a partir del signo de los factores se denomina regla de los signos y se sintetiza del siguiente modo

La multiplicación de números enteros tiene las propiedades siguientes:
Asociativa:
(a · b) · c = a · (b · c)
Conmutativa:
a · b = b · a
Elemento neutro: el 1 es el elemento neutro de la multiplicación,
a · 1 = a
Distributiva de la multiplicación respecto de la suma:
a · (b + c) = a · b + a · c

Resta de Números Enteros

Para restar dos números enteros se le suma al minuendo el opuesto del sustraendo.

Sistemas de Numeracón

Historia de las Matemáticas

Se dice que la primera etapa de las matemáticas fue la greco-romana donde los griegos fueron más significativos para apoyar y aportar elementos para ciencias y las matemáticas. En la época medieval se dio la segunda etapa, que en esta no se dieron grandes avances matemáticos y científicos.


El renacimiento se dio en la tercer etapa que fue la revolución del conocimiento. La revolución científica se dio en la cuarta etapa en el siglo XVII y parte del siglo XVIII. En la quinta y sexta etapa se desarrollo en el siglo XIX donde el algebra tuvo el avance más significativo, en estas 2 últimas etapas emerge lo que ahora conocemos como la matemática moderna.

En la antigüedad griega se desarrollo la geometría. Thales y Pitágoras fueron los primeros creadores de obras matemáticas y Pitágoras estableció una escuela científica y religiosa, y tales fue un miembro de una famosa escuela de pensadores de los números. Cuando los macedonios conquistaron la civilización se dice que inició una nueva época y crearon la civilización griega clásica y así se forjo una nueva fase en la historia griega.

Eudoxo fue uno de los matemáticos más importantes de toda la cultura griega, él fue el discípulo de Arquitas y también fue miembro de la academia de Platón, quien fue un desarrollador del llamado método de EXHAUSCIÓN, que les ayudaba a aproximar áreas geométricas. Euclides y Apolonio fueron muy famosos en el periodo Alejandrino, ya que Euclides es conocido por un famoso libro llamado Elementos; y Apolonio se decía que poseía el espíritu de periodo anterior.

Arquímedes se dice que fue una figura de las más importantes en toda la época, ya que estudio en Alejandría, el además del cálculo de aéreas y volúmenes aproximo el numero de pi y obtuvo grandes resultados en hidrostática, astronomía y mecánica. El mundo griego fue derrotado por Roma y se creó una nueva fase de mediterráneo dirigida por la Península Italiana.

Los árabes fueron un conjunto de pueblos nomas que vivían en lo que ahora es la península Arábiga, ellos dieron grandes aportes al algebra y a la aritmética, y después se dio el renacimiento y en esta la revolución científica, ya que hubo un reencuentro con la cultura clásica, sin embargo fue una época en la que todos se cuestiono. Para la revolución intelectual que se dio en las ciencias y las matemáticas del siglo XVII fue necesaria la matemática griega y árabe.

En el siglo XVII, la revolución científica busco desarrollar métodos matemáticos y científicos adecuados para poder integrar una colección de resultados en la física y en la astronomía que antes se había generado. Los griegos antiguos establecieron que las construcciones geométricas la geometría en general tenía que hacerse con base a la regla y el compas, lo cual reducía los resultados geométricos, sin embargo las limitaciones en el algebra hacían que la geometría tuviera una interrelación que podía potenciar sus posibilidades.

La geometría euclidiana tuvo un lugar muy importante en la historia de las matemáticas por siglos y siglos, ya que poseía limitaciones que impedía integrar teóricamente entre los métodos infinitesimales. Esta se excluía por ser esencialmente estática, el tiempo en los fenómenos físicos que trataba de descubrir.

Los procesos cinemáticos no podían ser captados por la geometría tradicional. Incluso, curvas como la espiral de Arquímedes, la cuadratiz de Hippias o la conchoide de Nicomedes, no podían ser integradas por esta geometría clásica porque éstas curvas estaban definidas en términos de movimiento. Los métodos de Pappus tampoco podían integrarse y, por supuesto, no podía incluirse en ese marco conceptual el movimiento de los cuerpos físicos, los cambios en el espacio y el tiempo, la variación de las cantidades: asuntos fundamentales para los matemáticos y científicos del siglo XVII.

Después por problemas planteados por las ciencias físicas y por la vida social durante los siglos XVI y XVII, los matemáticos y científicos buscaron un nuevo enfoque y nuevos métodos para abordar los problemas. De ahí nació el cálculo diferencial e integral, que tuvo una repercusión extraordinaria en la historia de las matemáticas. En el siglo XVII fue una revolución científica en muchos campos, pero esencialmente en las matemáticas y en la astronomía. La geometría Analítica conecta los conceptos de la geometría con del algebra y viceversa.

Parte de la obra de las Cónicas de Apolo Perga fue traducida por los árabes y fue introducida a Europa precisamente por Edmun Hallen quien fue un amigo de Newton. Muchos otros Matemáticos hicieron algunos avances en relación entre el álgebra y la geometría durante esta época, Galileo había tratado de establecer representaciones gráficas de conceptos como los del tiempo, rapidez, distancia y velocidad; sin embargo, fue René Descartes quien dio el impulso definitivo en esta dirección a la geometría.

Descartes es considerado el primer filósofo moderno y, por eso mismo, debe interpretarse que la geometría analítica corresponde al espíritu de lo que ya es una nueva era en el desarrollo de la sociedad occidental. Se le atribuye también la creación de la geometría analítica a Pierre de Fermat, quien escribió sobre estos temas antes incluso que Descartes hubiera publicado su obra seminal sobre el tema, pero que, desafortunadamente, fue publicada de manera póstuma posteriormente a la obra del filosofo Descartes.



Durante el siglo XVII las matemáticas tuvieron un carácter muy aplicado, lo cual correspondía a una gran demanda en el crecimiento del uso de las ciencias en la vida social, y a flujos e influjos en la economía y en las técnicas que afectaron los trabajos en las matemáticas. La teoría de la gravitación universal de Isaac Newton completó la destrucción del modelo cosmológico. Con Newton, efectivamente, puede considerarse que una fase intelectual fue completada. En las etapas históricas siguientes nuevos saltos cualitativos hacia adelante en la ciencia van a demandar más condiciones económicas, técnicas, políticas y sociales.

En el siglo XVIII las matemáticos europeos sobrepasaron la producción matemática antigua; esto en términos cuantitativos, y sobre todo, en términos cualitativos: nuevas disciplinas, la geometría proyectiva es un campo de la geometría que también posee importancia, fue el estudio de las prioridades proyectivas de las figuras, a esto se le suele llamar geometría proyectiva...